正實函數(shù)

　　正實函數(shù)（Positive-realfunctions）的縮寫是PR函數(shù)或是PRF，是在電路分析中會出現(xiàn)的一種數(shù)學函數(shù)。正實函數(shù)是復數(shù)函數(shù)Z(s)，其變數(shù)s也是復數(shù)。有理函數(shù)若在復平面的右半邊都有正的實部，且可解析，在實軸上都為實數(shù)，就是正實函數(shù)。

　　其定義可以表示為下式：

　　{\displaystyle{\begin{aligned}&\Re[Z(s)]>0\quad{\text{if}}\quad\Re(s)>0\\&\Im[Z(s)]=0\quad{\text{if}}\quad\Im(s)=0\end{aligned}}}{\displaystyle{\begin{aligned}&\Re[Z(s)]>0\quad{\text{if}}\quad\Re(s)>0\\&\Im[Z(s)]=0\quad{\text{if}}\quad\Im(s)=0\end{aligned}}}

　　在電路分析中Z(s)表示阻抗，而s為S平面變數(shù)，也常用其實部及虛部表示：

　　{\displaystyles=\sigma+i\omega\,\!}{\displaystyles=\sigma+i\omega\,\!}

　　則正實函數(shù)的定義會改為下式：

　　{\displaystyle{\begin{aligned}&\Re[Z(s)]>0\quad{\text{if}}\quad\sigma>0\\&\Im[Z(s)]=0\quad{\text{if}}\quad\omega=0\end{aligned}}}{\displaystyle{\begin{aligned}&\Re[Z(s)]>0\quad{\text{if}}\quad\sigma>0\\&\Im[Z(s)]=0\quad{\text{if}}\quad\omega=0\end{aligned}}}

　　正實函數(shù)在電路分析的重要性在于正實函數(shù)的條件也就是電路可實現(xiàn)性的條件。Z(s)可實現(xiàn)為單埠有理阻抗當且僅當其符合正實函數(shù)的條件。此情形下的可實現(xiàn)表示可以用有限個分立理想的被動線性元件（以電路來說就是電阻器、電感元件、電容器）來實現(xiàn)。

定義

　　“正實函數(shù)”最早是由OttoBrune所定義，描述符合以下條件的函數(shù)Z(s)：

• 　　是有理函數(shù)（二個多項式的商）

• 　　s為實數(shù)時，函數(shù)有實數(shù)值。

• 　　s的實部為正時，函數(shù)的實數(shù)也為正值。

　　許多作者嚴格依照上述定義，包括明確要求是有理函數(shù)。不過Cauer之前就有提出類似，但要求較寬的條件，也有些作者將“正實函數(shù)”的定義認為是Cauer提出的這一種，其他作者則認為Cauer的定義是基本定義的擴展版本。

歷史

　　正實函數(shù)的條件最早是由WilhelmCauer(1926)提出，他確定了這些是必要條件。OttoBrune(1931)開始使用“正實”（positive-real）一詞，并且證明是可實現(xiàn)的充份條件及必要條件。

性質

• 　　二個正實函數(shù)的和也是正實函數(shù)

• 　　由二個正實函數(shù)組合成的復合函數(shù)也是正實函數(shù)。若Z(s)是正實函數(shù)，則1/Z(s)和Z(1/s)也是正實函數(shù)。

• 　　正實函數(shù)的所有極點和零點都在左半平面，或是在虛軸的邊界上。

• 　　虛軸上的所有極點和零點都是單純極點或零點（其重復度為1）

• 　　虛軸上的所有極點都有實數(shù)且嚴格為正的留數(shù)，虛軸上的所有零點，都有實數(shù)且嚴格為正的導數(shù)。

• 　　在右半平面，正實函數(shù)實部的最小值出現(xiàn)在虛軸（因為解析函數(shù)的實部會形成平面上的調和函數(shù)，因此會滿足最大原則。

• 　　針對有理的正實函數(shù)，其極點和零點的數(shù)量最多只差一。

擴展版本

　　正實函數(shù)有許多的擴展版本，希望用導抗函數(shù)來處理更大范圍的被動線性電路。

無理函數(shù)

　　若是由包括無限個數(shù)的元件形成的電路（例如半無限階的階梯網(wǎng)絡），其阻抗Z(s)不一定會是s的有限函數(shù)，而在負的實s軸也會有分支點。為了正實函數(shù)的定義可以適應這類的函數(shù)，需要放寬正實函數(shù)的要求，從所有的實數(shù)s下，函數(shù)都要是實數(shù)，變成只要在正實數(shù)s下，函數(shù)都要是實數(shù)即可?？赡苁菬o理函數(shù)的Z(s)是正實函數(shù)若且唯且

• 　　Z(s)在右半s平面解析（Re[s]>0）

• 　　當s為正實數(shù)時，Z(s)為實數(shù)

• 　　當Re[s]≥0時，Re[Z(s)]≥0

　　有些作者由這個較寬的定義開始，將有理函數(shù)的情形視為特例。

矩陣值函數(shù)

　　超過一個埠的線性電路可以用阻抗參數(shù)或導納參數(shù)來描述。透過延伸到矩陣函數(shù)的正實函數(shù)定義，可以區(qū)分那些是可以由被動元件實現(xiàn)的電路。矩陣值函數(shù)（可能是無理函數(shù)）Z(s)是正實函數(shù)的充份必要條件是

• 　　Z(s)中的每一個元素在右半s平面（Re[s]>0（開區(qū)間內(nèi)可解析。

• 　　若s為正實數(shù)時，Z(s)的每一個元素都是實數(shù)。

• 　　若Re[s]≥0時，Z(s)的埃爾米特部分為正定矩陣。

  
  

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